Cours Master Paris-Sud - Nicolas BERGERON
Spectre des surfaces hyperboliques
Nous commencerons par une brève introduction aux surfaces
hyperboliques
et nous introduirons l'opérateur laplacien sur celles-ci.
Les surfaces hyperboliques qui nous interesseront sont celles provenant
de constructions arithmétiques, nous commencerons donc par les
construire. Puis nous démontrerons le théorème spectral sur
les surfaces hyperboliques compactes, sorte de théorie de Fourier
non commutative. Nous démontrerons ensuite la formule des traces de
Selberg qui permet de relier les valeurs propres du laplacien à des
quantités plus géométrique : les longueurs des géodésiques
fermées sur la surface. La formule des traces nous permettra ensuite
de démontrer un théorème dû à Selberg concernant la première
valeur propre du laplacien sur les surfaces arithmétiques. Nous
finirons la première partie du cours pas la question de
l'isospectralité : deux surfaces ayant le même spectre sont-elles
isométriques ?
Dans la deuxième partie du cours on revient sur le théorème de
Selberg dans le cas de la surface modulaire. Le but est d'expliquer
en quoi ce théorème est aussi (avant tout ?) un théorème
d'arithmétique. Nous parlerons pour cela de fonctions L
(généralisation de la fonction zêta de Riemann) et de théorie de
Rankin-Selberg.